Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Étape 1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 1 - 1 & 0 - 1 & 1 - 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 1.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Étape 2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 \\ 1 - 1 & 0 - 1 & 1 - 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 2.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} - 2 R_{1}$ to make the entry at $4, 1$ a $0$ .

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Étape 3.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} - 2 R_{1}$ to make the entry at $4, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.2

Simplifiez $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 4

Perform the row operation $R_{5} = R_{5} - 2 R_{1}$ to make the entry at $5, 1$ a $0$ .

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Étape 4.1

Perform the row operation $R_{5} = R_{5} - 2 R_{1}$ to make the entry at $5, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 4.2

Simplifiez $R_{5}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Étape 5

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Étape 5.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ - 0 & - - 1 & - 1 \cdot 1 \\ 0 & - 1 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Étape 5.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Étape 6

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Étape 6.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 0 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 1 - 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Étape 6.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Étape 7

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + R_{2}$ to make the entry at $4, 2$ a $0$ .

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Étape 7.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + R_{2}$ to make the entry at $4, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 - 1 \\ 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Étape 7.2

Simplifiez $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \\ 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Étape 8

Perform the row operation $R_{5} = R_{5} + R_{2}$ to make the entry at $5, 2$ a $0$ .

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Étape 8.1

Perform the row operation $R_{5} = R_{5} + R_{2}$ to make the entry at $5, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \\ 0 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 - 1 \end{array}]$

Étape 8.2

Simplifiez $R_{5}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & - 1 \end{array}]$

Étape 9

Swap $R_{4}$ with $R_{3}$ to put a nonzero entry at $3, 3$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{array}]$

Étape 10

Multiply each element of $R_{3}$ by $- 1$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

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Étape 10.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $- 1$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 \\ - 0 & - 0 & - - 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{array}]$

Étape 10.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{array}]$

Étape 11

Perform the row operation $R_{5} = R_{5} + R_{3}$ to make the entry at $5, 3$ a $0$ .

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Étape 11.1

Perform the row operation $R_{5} = R_{5} + R_{3}$ to make the entry at $5, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 11.2

Simplifiez $R_{5}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 12

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

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Étape 12.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 12.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 13

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Étape 13.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 13.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$